El sistema con múltiples artículos se maneja como múltiples sistemas de un artículo. Este procedimiento es adecuado cuando no hay interacción entre los artículos, como compartir recursos comunes. Los recursos comunes pueden incluir, por ejemplo, presupuesto, capacidad de almacenaje o ambos. Entonces el procedimiento del EOQ ya no es adecuado, ya que estos recursos comunes son limitados y el resultado puede violar la restricción de recursos. Por esa razón se necesita una modificación del modelo EOQ clásico.
Se formula el problema como un modelo de optimización restringido y se resuelve usando multiplicadores de Lagrange. En muchas aplicaciones existen solo una o dos restricciones. Para introducir este enfoque se considerará el caso de una restricción, digamos presupuesto. Se requiere que en cualquier punto en el tiempo, la inversión total en inventario no exceda e dólares, es decir:
n
∑ c Q ≤ C
i =1 i i
Donde n es el número de artículos. No se tomará en cuenta la posibilidad de que las órdenes estén desfasadas y que los niveles máximos de inventario de todos los artículos no ocurran al mismo tiempo.
El objetivo todavía es minimizar el costo total anual promedio,
La ecuación de Lagrange considera tanto el objetivo como la restricción y es:
Donde λ es el multiplicador de Lagrange. El multiplicador actúa como una penalización para reducir cada Q¡* para minimizar el costo al mismo tiempo que satisfacer la restricción. El valor mínimo de K se encuentra tomando derivadas parciales de la función K (Q, A). Los pasos requeridos para encontrar la solución óptima son:
1. Se resuelve el problema no restringido. Si se satisface la restricción, ésta es la solución óptima.
2. Si no ocurre así, se establece la ecuación para K (Q, A).
3. Se obtiene Q* resolviendo las (n + 1) ecuaciones dadas por
Para i = 1,2…, n
ƏK (Qλ) = 0
Əλ
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